1) Когда вы обращаетесь за исполнением чего-либо, исполнение чего зависит от усмотрения того, к кому вы обращаетесь, это прошение, просьба.
2) Когда вы имеете безусловное право и у вас есть воля (желание) его реализовать, вы являете исполнителю свою волю, подавая заявление.

Отбросим в сторону дебильное "а нас так учили и так делают _все_" и зададим себе вопрос:

Люди, а какого хрена вы начинаетет свое _заявление_ со слова "Прошу..."???